เรื่อง กราฟ

0

กราฟ

1.กราฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณที่มีความสัมพันธ์เชิงเส้น

2554-09-08_1127.png

ในการเขียนกราฟของความสัมพันธ์เชิงเส้นกรณีที่กราฟมีลักษณะเป็นจุด เพื่อดูแนวโน้มของความสัมพันธ์ เรานิยมเขียนต่อจุดเหล่านั้นให้เป็นส่วนหนึ่งของเส้นตรง

ตัวอย่าง1

กลุ่มแม่บ้านในตำบลแห่งหนึ่งร่วมกันผลิตน้ำฝรั่งเพื่อบรรจุขวดขายในราคาขวดละ 20 บาท จากการบันทึกข้อมูลเกี่ยวกับเงินลงทุน เขียนแสดงได้ด้วยกราฟดังรูป

จงเขียนกราฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนน้ำฝรั่งที่ขายได้กับรายได้ที่ได้รับโดยใช้แกนคูเดียวกันกับกราฟแสดงเงินลงทุน และใช้กราฟที่ได้ตอบคำถามต่อไปนี้

วิธีทำ

1)      เงินลงทุนขั้นต่ำที่ต้องจ่ายก่อนผลิตน้ำฝรั่งเป็นเงินเท่าไร

ตอบ    2,000 บาท

2)      ถ้าขายน้ำฝรั่งได้ 150 ขวด จะได้กำไรหรือขาดทุนเป็นเงินเท่าไร

ตอบ    ได้ว่าเงินลงทุน = 3,500 บาท และเงินรายได้ของการขายน้ำฝรั่ง = 3,000 บาท

ดังนั้น ขาดทุน = 3,500 – 3,000 = 500 บาท

3)      กลุ่มแม่บ้านต้องขายน้ำฝรั่งให้ได้อย่างน้อยที่สุดกี่ขวดจึงจะถึงจุดคุ้มทุน

ตอบ    จุดตัดของกราฟอยู่ที่ 200 ดังนั้นชาวบ้านต้องขายน้ำฝรั่งอย่างน้อย 200 ขวดจึงจะถึงจุดคุ้มทุน

4)      จากจุดคุ้มทุน ถ้าขายน้ำฝรั่งได้มากขึ้นเรื่อยๆ นักเรียนคิดว่า ส่วนต่างของเงินลงทุนกับรายได้จะเป็นอย่างไร และมีความหมายว่าอย่างไร

ตอบ    จากกราฟสังเกตได้ว่าส่วนต่างของเงินลงทุนกับรายได้มีค่าเพิ่มขึ้นนั้นชี้ให้เห็นว่ายิ่งขายน้ำฝรั่งได้มากกำไรก็จะยิ่งมากขึ้นด้วย

 

ตัวอย่าง 2

รถยนต์คันที่หนึ่งออกเดินทางเวลา 8.00 น. ด้วยอัตราเร็ว 40 กิโลเมตรต่อชั่วโมง เป็นเวลา 2 ชั่วโมง แล้วหยุดพัก 1 ชั่วโมงจากนั้นจึงออกเดินทางต่อด้วยอัตราเร็ว 50 กิโลเมตรต่อชั่วโมง รถยนต์คันที่สองเริ่มออกเดินทางตามไปในเส้นทางเดียวกันหลังจากคันที่หนึ่งแล่นไปแล้ว 2 ชั่วโมง ด้วยอัตราเร็ว 60 กิโลเมตรต่อชั่วโมง จงเขียนกราฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างเวลากับระยะทางที่รถยนต์แต่ละคันแล่นได้ ตั้งแต่ 8.00 น. ถึง 14.00 น. โดยใช้แกนคู่เดียวกัน แล้วใช้กราฟที่ได้ตอบคำถามต่อไปนี้

วิธีทำ

2554-09-08_1136.png

1)      ในขณะที่รถยนต์คันที่สองเริ่มออกเดินทาง รถยนต์คันที่หนึ่งแล่นนำหน้าเป็นระยะทางเท่าใด

ตอบ    80 กิโลเมตร

2)      รถยนต์ทั้งสองคันแล่นทันกันเมื่อเวลาใด

ตอบ    13 นาฬิกา

3)      หลังจากรถยนต์ทั้งสองคันแล่นทันกันแล้ว รถยนต์คันใดจะแล่นนำหน้า

ตอบ    รถคันที่ 2

4)      จากกราฟ ถ้ารถยนต์ทั้งสองคันยังคงแล่นต่อไปด้วยอัตราเร็วเดิมจนถึงเวลา 14.30 น. รถยนต์ทั้งสองคันอยู่ห่างกันประมาณเท่าใด

ตอบ    ณ เวลา 14.30 น. รถคันที่หนึ่งวิ่งได้ระยะทาง 255 กิโลเมตร และคันที่สองวิ่งได้ 270

กิโลเมตร ดังนั้นรถยนต์ทั้งสองคันนี้อยู่ห่างกัน = 270 – 255 = 15 กิโลเมตร

 

2.กราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวแปร 

 บทนิยาม        “สมการเส้นตรง” คือสมการที่อยู่ในรูป

2554-11-09_2108.png

เมื่อ A, B และ C เป็นจำนวนจริงโดยที่ A และ B ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน

ถ้า A  0 และ B  0  เรานิยมจัดสมการให้อยู่ในรูปที่สะดวกต่อการแทนค่า x และหาค่า y ดังนี้

พิจารณา           Ax + By + C   =  0

จัดรูปใหม่ จะได้                 By   =  – Ax – C

y   =  –x –

ถ้าให้   =  m ,  =  b      จะได้สมการเชิงเส้นสองตัวแปรที่นิยมเขียนกันอีกแบบหนึ่ง คือ

y   =  mx + b          เมื่อ m และ b เป็นค่าคงตัว

ดังนั้นเราสามารถเขียนสมการ (1) ให้อยู่ในรูปต่อไปนี้

2554-09-08_1525.png

โดยเรียก m ว่าเป็นความชันของเส้นตรง และ  b เป็นระยะตัดแกน Y

 

ข้อสังเกต       กราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวแปรสองสมการที่อยู่ในรูป y =  และ

y =  เมื่อ  และ  เป็นค่าคงตัว มีลักษณะดังนี้

  1. ความชันของสมการทั้งสองเท่ากัน ก็ต่อเมื่อ กราฟทั้งสองเส้นเป็นเส้นตรงที่ขนานกัน
  2. ความชันของสมการทั้งสองไม่เท่ากัน ก็ต่อเมื่อ กราฟทั้งสองเส้นเป็นเส้นตรงที่ตัดกัน

วิธีที่ 2  หาจุดตัดแกน

–          หาจุดตัดแกน X : ให้ y = 0 แล้วแก้สมการหาค่า x ที่เป็นจำนวนจริง

–          หาจุดตัดแกน Y : ให้ x = 0 แล้วแก้สมการหาค่า y ที่เป็นจำนวนจริง

ความชันของเส้นตรง 2 เส้น

ให้เส้นตรง  และ  มีความชันเป็น  และ 

2554-09-08_1602.png

ความสัมพันธ์ระหว่างความชันกับกราฟของเส้นตรง

ให้ L เป็นเส้นตรงที่มีความชัน m แล้วเราได้ข้อสรุปดังนี้

  1. ถ้า m = 0 แล้ว เส้นตรง L ขนานกับแกน X
  2. ถ้า m > 0 แล้วเส้นตรง L ทำมุมแหลมกับแกน X
  3. ถ้า m < 0 แล้วเส้นตรง L ทำมุมป้านกับแกน X

 

ตัวอย่าง 1

กำหนดสมการเส้นตรง จงหาความชันของเส้นตรงเส้นนี้และระยะตัดแกน Y

วิธีทำ   จาก  เราสามารถจัดรูปได้ใหม่ว่า 

เพราฉะนั้นได้ว่า เส้นตรงนี้มีความชันเท่ากับ 2 และตัดแกน Y ที่ y = -5

 

ตัวอย่าง2

จงวาดกราฟของสมการ 

วิธีทำ   จากโจทย์เราสามารถสร้างตารางได้ดังต่อไปนี้

2554-09-08_1611.png

วาดกราฟได้ดังนี้

2554-09-08_1612.png

 

ตัวอย่าง 1

ผลบวกของจำนวนสองจำนวนเป็น 51 ถ้าจำนวนหนึ่งน้อยกว่าอีกจำนวนหนึ่งอยู่ 13   จงหาจำนวนสองจำนวนนั้น

วิธีทำ   ให้จำนวนทั้งสอง คือ x และ y จากโจทย์เราได้ระบบสมการเชิงเส้นดังนี้

x+ y   =  51                    ……(1)

x – y   =  13                    ……(2)

(1) + (2)                       2x  =  64   หรือ   x = 32

แทนค่า  x ใน (2) ;      หรือ   y = 19

ดังนั้น     จำนวนทั้งสอง คือ 32 และ 19

 

ตัวอย่าง 2

จำนวนจำนวนหนึ่งเขียนแทนได้ด้วยตัวเลขสองหลัก เลขโดดในหลักสิบมากกว่าเลขโดดในหลักหน่วยอยู่ 4 และผลบวกของจำนวนนี้กับจำนวนที่มีเลขโดดสลับหลักกันกับจำนวนเดิมเป็น 154 จงหาจำนวนเดิมนั้น

วิธีทำ   ให้จำนวนดังกล่าวอยู่ในรูป mn โดยที่ m เป็นเลขหลักสิบ และ n เป็นเลขหลักหน่วย

(m,n = 0,1,2,…,9)

จากโจทย์เราได้ระบบสมการเชิงเส้นดังนี้

m – n   =  4                      ……(1)

(10m+n)+(10n+m)   =  154                  ……(2)

หรือ               11m + 11n   =  154                  ……(3)

(1) ´ 11 ;           11m – 11n   =  44                    ……(4)

(3) +(4) ;                22m  =  198   หรือ   m = 9

แทนค่า m ใน (1) ;         หรือ

ดังนั้น จำนวนดังกล่าวคือ 95

—————————————————————————————————————————————————————–

อ้างอิง: http://e-learning.kusol.org/mod/scorm/player.php

 

Advertisements

เรื่อง ความคล้าย

0

ความคล้าย

1.รูปหลายเหลี่ยมที่คล้ายกัน

2554-09-11_1335.png

                                                                                           A                                                                                                              B

เมื่อกล่าวถึงรูปหลายเหลี่ยมสองรูปที่คล้ายกัน เราจะเขียนจุดยอดมุมที่สมนัยกันให้อยู่ในลำดับเดียวกัน เช่น มีรูป ก คล้ายกับรูป ข ดังรูป

                                              

เราจะเขียนว่า รูป ABCDE ~ รูป PQRST ซึ่งหมายถึง

 2554-09-11_1517.png

การเขียนว่า รูป ABCDE ~ รูป PQRST เป็นการแสดงการจับคู่ระหว่างมุมและด้านคู่ที่สมนัยกัน ดังนี้

 2554-11-10_0305.png                                                                                       2554-11-10_0305.png 

 2554-11-10_0305.png                                                                                        2554-11-10_0305.png 

 2554-11-10_0305.png                                        และ                                         2554-11-10_0305.png 

 2554-11-10_0305.png                                                                                         2554-11-10_0305.png 

                2554-11-10_0305.png                                                                                         2554-11-10_0305.png 

จากตัวอย่างข้างต้น ถ้ามีการเขียนเป็นอย่างอื่น เช่น รูป ABCDE ~ รูป QRSTP

อาจทำให้การหามุมคู่ที่สมนัยกันและด้านคู่ที่สมนัยกันเป็นไปอย่างสับสนได้

ตัวอย่าง 1

จากรูป จงแสดงว่ารูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน DUCK และรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน FISH เป็นรูปสี่เหลี่ยมที่คล้ายกัน

เฉลยตัวอย่าง 1

วิธีทำ   เนื่องจาก  oDUCK เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

จะได้            =  = 60°

DU  = CK = 6 หน่วย

และ          CU  = DK = 4 หน่วย

= 180 – 60 = 120°

ดังนั้น           =  = 120°

ในทำนองเดียวกัน จะได้ว่า

=  = 120°

IS  = FH = 6 หน่วย

และ          SH  = IF = 9 หน่วย

= 180 – 120 = 60°

ดังนั้น           =  = 120°

เพราะฉะนั้น สามารถจับคู่จุดยอดมุมที่ทำให้ได้

1. มุมคู่ที่สมนัยกันมีขนาดเท่ากันเป็นคู่ๆ ทุกคู่ คือ  

2. อัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกันทุกคู่เป็นอัตราส่วนที่เท่ากัน คือ

 

นั่นคือ   DUCK ~ FISH

2.รูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน

2554-09-14_2148.png

จากรูป 2554-11-10_0315.pngABC คล้ายกับ2554-11-10_0315.png DEF เราใช้สัญลักษณ์ ~ แทนคำว่า “คล้ายกับ” ดังนั้นจึงเขียน 2554-11-10_0315.pngABC ~ 2554-11-10_0315.pngDEF แทนข้อความว่า2554-11-10_0315.png ABC คล้ายกับ 2554-11-10_0315.pngDEF

การใช้สัญลักษณ์ ~ นี้ มักนิยมเขียนจุดยอดมุมของรูปสามเหลี่ยมคู่ที่มีขนาดของมุมเท่ากันไว้ในตำแหน่งเดียวกัน

เช่น     ถ้าเขียน2554-11-10_0315.png ABC ~ 2554-11-10_0315.pngDEF หมายความว่า   =  =  และ   = 

เมื่อ 2554-11-10_0315.pngABC ~2554-11-10_0315.png DEF ดังตัวอย่าง

เนื่องจาก                       ด้าน BC อยู่ตรงข้าม

ด้าน EF อยู่ตรงข้าม 

และ                                  = 

จะกล่าวว่า            ด้าน BC สมนัยกับด้าน EF

ในทำนองเดียวกัน จะได้ว่า

ด้าน AC สมนัยกับด้าน DF

และ                        ด้าน AB สมนัยกับด้าน DE

จะกล่าวว่า        2554-11-10_0315.pngABC และ2554-11-10_0315.png DEF มีด้านคู่ที่สมนัยกันสามคู่

ซึ่งได้แก่           สมนัยกับ ,

 สมนัยกับ 

และ                   สมนัยกับ 

สมบัติของรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน

2554-09-14_2150.png

2554-09-14_2150_001.png

2554-09-14_2150_002.png

ตัวอย่าง 1

กำหนดให้  ขนานกับ    2554-11-10_0315.pngABC และ 2554-11-10_0315.pngEDC คล้ายกันหรือไม่ จงให้เหตุผล

เฉลยตัวอย่าง 1

วิธีทำ   เนื่องจาก  ขนานกับ  จะได้ว่า  และ  ดังนั้น จึงได้ว่า 2554-11-10_0315.pngABC ~2554-11-10_0315.pngEDC

ตัวอย่าง 2

กำหนดให้  ขนานกับ    2554-11-10_0315.pngABC และ 2554-11-10_0315.pngADE คล้ายกันหรือไม่ จงให้เหตุผล

เฉลยตัวอย่าง 2

วิธีทำ   เนื่องจาก   ขนานกับ  จะได้ว่า  และ  ดังนั้น จึงได้ว่า 2554-11-10_0315.pngABC ~2554-11-10_0315.pngADE

ตัวอย่าง 3

นธีคิดวิธีหาความสูงของเสาธงโดยใช้กระจกเงา นธีวางกระจกเงาหงายในแนวราบบนสนามหญ้า แล้วเดินไปยืนที่จุดๆ หนึ่ง ซึ่งมองเห็นยอดเสาธงในกระจกเงา ดังรูป ถ้ามงคลสูง 168 เซนติเมตร ระดับดวงตาอยู่ต่ำกว่าศีรษะ 8 เซนติเมตร กระจกเงาวางห่างจากโคนเสาธง6 เมตร และนธียืนห่างจากกระจกเงา 1.2 เมตร เสาธงจะสูงเท่าไร

วิธีทำ   จากรูปเราได้ว่า  2554-11-10_0315.pngABC ~ 2554-11-10_0315.pngDEC

              ดังนั้น  หรือ 

              เพราะฉะนั้นได้ว่า  เสาธงจะสูง =  เมตร

——————————————————————————————————————————————————————

อ้างอิง: http://e-learning.kusol.org/mod/scorm/player.php

               http://e-learning.kusol.org/mod/scorm/view.php?id=222

              http://e-learning.kusol.org/mod/scorm/view.php?id=223

เรื่อง สมการเชิงเส้น

0

สมการเชิงเส้น

1.ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร

บทนิยาม        ให้  a, b, c, d, e  และ  f  เป็นจำนวนจริงใด ๆ ที่ a, b ไม่เป็นศูนย์พร้อมกันและ  c, d ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน  เรียก ระบบสมการ

                             ax + by  =  e

                             cx + dy  =  f

ว่า  “ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร

เรียก a และ c ว่า เป็นสัมประสิทธิ์ของ x

เรียก b และ d ว่า เป็นสัมประสิทธิ์ของ y

บทนิยาม          คำตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร คือ คู่อันดับ (x, y) ที่สอดคล้องกับสมการ

ทั้งสอง หรือ ทำให้สมการทั้งสองเป็นจริง

ข้อสังเกต   ระบบสมการเชิงเส้น 2 ตัวแปร อาจไม่มีคำตอบ หรือมีคำตอบเดียว หรือหลายคำตอบก็ได้

ตัวอย่าง 1

กำหนดให้ x, y เป็นจำนวนจริงใดๆ

x – 3y   =  6                           ……(1)

2x – 6y   =  8                           ……(2)

กราฟของสมการทั้งสองมีลักษณะเป็นอย่างไร และอะไรคือข้อสรุปเกี่ยวกับคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นนี้

วิธีทำ

จากกราฟจะเห็นว่า เส้นตรงที่ได้จากสมการ (1) และเส้นตรงที่ได้จากสมการ (2) นั้น

ขนานกัน จึงไม่มีจุดตัด

ดังนั้น   ระบบสมการนี้ไม่มีคำตอบ

ตัวอย่าง 2

กำหนดให้ x, y เป็นจำนวนจริงใดๆ

2x – 3y  =  12                         ……(1)

2x + 2y   =  -8                         ……(2)

กราฟของสมการทั้งสองมีลักษณะเป็นอย่างไร และอะไรคือข้อสรุปเกี่ยวกับคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นนี้

วิธีทำ

จากกราฟจะเห็นว่า เส้นตรงที่ได้จากสมการ (1) และเส้นตรงที่ได้จากสมการ (2) นั้น

ตัดกันที่จุด (0, –4)

ดังนั้น   (0, –4) เป็นคำตอบเดียวของระบบสมการนี้

2 การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรและกราฟ

สมบัติที่ใช้ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร

1.      ถ้า a, b, c และ d เป็นจำนวนจริงใดๆ โดยที่ a = b และ c = d แล้ว a + c = b + d

2.      ถ้า a, b และ k เป็นจำนวนจริงใดๆ และ a = b แล้ว ak = bk

วิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร

วิธีที่ 1  โดยการใช้กราฟ ดังกล่าวแล้วในหัวข้อ 1

วิธีที่ 2  โดยวิธีการแทนที่ ประกอบด้วยขั้นตอนดังต่อไปนี้

            ขั้นที่ 1  เลือกสมการจากโจทย์มา 1 สมการ

           ขั้นที่ 2  จัดสมการให้ x อยู่ในเทอมของ y หรือ y อยู่ในเทอมของ x

           ขั้นที่ 3  นำค่า x หรือ y ไปแทนค่าในอีกสมการ แล้วหาค่า x และ y

วิธีที่ 3  โดยวิธีการกำจัดตัวแปร ประกอบด้วยขั้นตอนดังต่อไปนี้

           ขั้นที่ 1  ทำสัมประสิทธิ์ของตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งในสมการให้เท่ากัน หรือเป็นจำนวนตรงข้ามกันจะเป็นตัวแปร x หรือ y ก็ได้

           ขั้นที่ 2  แล้วกำจัดตัวแปรตัวนั้น ก็จะเหลือตัวแปรตัวเดียวอาจเป็น x หรือ y

           ขั้นที่ 3  นำค่า x หรือ y ไปแทนค่าในอีกสมการ แล้วหาค่าตัวแปรตัวที่เหลือ

ตัวอย่าง 1

จงแก้ระบบสมการ          x + y   =  8

x – y   =  6

ใช้วิธีที่ 2                     x + y   =  8                           ……(1)

x – y   =  6                           ……(2)

จาก (1) บวกด้วย – y ทั้งสองข้างของสมการได้

x + y – y   =  8 – y

x   =  8 – y                     ……(3)

แทนค่า x จาก (3) ใน (2) ได้        (8 – y) – y  =  6

8 – 2y  =  6

บวกด้วย – 8 ทั้งสองข้างได้           – 8 + 8 – 2y  =  – 8 + 6

– 2y  =  – 2

คูณด้วย  ทั้งสองข้างได้      (– 2y)  =  (– 2)

y  =  1

จาก (1) แทน y  =  1 ได้                      x + 1 =  8

บวกด้วย – 1 ทั้งสองข้างได้             x + 1 – 1 =  8 – 1

x  =  7

ดังนั้น   คำตอบของระบบสมการ คือ (7, 1)

ใช้วิธีที่ 3                      x + y   =  8                           ……(1)

x – y   =  6                           ……(2)

(1) + (2) ;                                     2x   =  14

x   =  7

(1) – (2) ;                                      2y   =  2

y   =  1

ดังนั้น   คำตอบของระบบสมการ คือ (7, 1)

——————————————————————————————————————————————————————–

อ้างอิง: http://e-learning.kusol.org/mod/scorm/player.php

เรื่อง พื้นที่ผิวและปริมาตร

0

พื้นที่ผิวและปริมาตร

สูตรการหาพื้นที่และปริมาตร มีดังนี้

ปริซึม

       ในทางคณิตศาสตร์ ให้ความหมายคำว่า ปริซึม ดังนี้

       รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานทั้งสองเป็นรูปเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ ฐานทั้งสองอยู่บนระนาบเดียวกัน และด้านข้างแต่ละด้านเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน หรือเรียกง่ายๆว่า แท่งเหลี่ยมตัน

   สูตรคำนวณต่างๆที่เกี่ยวกับปริซึม
ปริมาตรของปริซึม = พื้นที่ฐาน X ความสูง
พื้นที่ผิวทั้งหมดของปริซึม = พื้นที่ผิวข้าง X พื้นที่หน้าตัดหัวท้าย
พื้นที่ผิวข้างของปริซึม = ความยาวเส้นรอบฐาน X ความสูง

พีระมิด

       ในทางคณิตศาสตร์ ให้ความหมายคำว่า พีระมิด ดังนี้
รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานเป็นรูปเหลี่ยมใดๆ มียอดแหลมที่ไม่อยู่บนระนาบเดียวกันกับฐาน และหน้าทุกหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วมกันที่ยอดแหลมนั้น เรียกว่า พีระมิด

สูตรคำนวณต่างๆที่เกี่ยวกับพีระมิด
พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด = 1/2 X ความยาวรอบฐาน X สูงเอียง
= พื้นที่ของหน้าทุกหน้ารวมกัน
พื้นที่ผิวของพีระมิด = พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด X พื้นที่ฐานของพีระมิด

ทรงกระบอก

        ในทางคณิตศาสตร์ให้ความหมายคำว่า ทรงกระบอก ดังนี้
รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานสองฐานเป็นรูปวงกลมที่เท่ากันทุกประการและอยุ่บนระนาบที่ขนานกัน และเมื่อตัดรูปเรขาคณิตสามมิตินั้นด้วยระนาบที่ขนานกับฐานแล้ว จะได้หน้าตัดเป็นวงกลมที่เท่ากันทุกประการกันฐานเสมอ เรียกรูปเรขาคณิตสามมิตินั้นว่า ทรงกระบอก

สูตรคำนวณต่างๆที่เกี่ยวกับทรงกระบอก
ปริมาตรทรงกระบอก = (22/7 หรือ 3.14) X รัศมียกกำลัง 2 X สูงตรง
พื้นที่ผิวข้างของทรงกระบอก = 2(22/7 หรือ 3.14) X รัศมี X สูงตรง + 2(22/7 หรือ 3.14) X รัศมียกกำลัง 2

กรวย

ในทางคณิตศาสตร์ให้ความหมายคำว่า กรวย ดังนี้
รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานเป็นรูปวงกลม มียอดแหลมที่ไม่อยู่ในระนาบเดียวกันกับฐาน และเส้นที่ต่อระหว่างจุดยอดกับจุดใดๆ บนขอบของฐานเป็นส่วนของเส้นตรง เรียกรูปเรขาคณิตสามมิตนั้นว่า กรวย

สูตรคำนวณต่างๆที่เกี่ยวข้องกับกรวย
ปริมาตรของกรวย = 1/3 X (22/7 หรือ 3.14) X รัศมียกกำลังสอง X สูงตรง
พื้นที่ผิวของกรวย = (22/7 หรือ 3.14) X รัศมี X สูงเอียง + (22/7 หรือ 3.14) X รัศมียกกำลังสอง

ทรงกลม

       ในทางคณิตศาสตร์ให้ความหมายคำว่า ทรงกลม ดังนี้
รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีผิวโค้งเรียบ และจุดทุกจุดบนผิวโค้งอยู่ห่างจากจุดจุดหนึ่งเป็นระยะเท่ากัน เรียกว่า ทรงกลม
จุดคงที่นั้นเรียกว่า จุดศูนย์กลางของทรงกลม
ระยะที่เท่ากันนั้นเรียกว่า รัศมีของทรงกลม

สูตรคำนวณต่างๆที่เกี่ยวข้องกับทรงกลม

ปริมาตรของทรงกลม = 4/3 X (22/7 หรือ 3.14) X รัศมียกกำลัง 3
พื้นที่ผิวของทรงกลม = 4 X (22/7 หรือ 3.14) X รัศมียกกำลัง 2

ปริซึมและพีระมิด

ทรงสามมิติ (Solid) ในที่นี้มีความหมายอย่างเดียวกับรูปทรงที่มีความกว้าง ความยาว และความสูง ทรงสามมิติที่กล่าวถึง ได้แก่
ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก ปริซึม ทรงกระบอก กรวย ทรงกลม เป็นต้น

พื้นที่ผิว คือ ผลรวมของพื้นที่ผิวข้างทุกด้านของรูปทรง เช่น พื้นที่ผิวของรูปทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากจะมีพื้นที่ผิวข้าง 6 ด้านรวมกัน
ปริมาตร คือ ปริมาณที่วัดเพื่อแสดงบริเวณที่ว่าง (ความจุ) ภายในรูปทรงสามมิติ การวัดปริมาตรของรูปทรงสามมิติใช้หน่วยวัดเป็น
ลูกบาศก์หน่วย

ปริมาตร 1 ลูกบาศก์หน่วย คือ รูปทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีความกว้าง 1 หน่วย ความยาว 1 หน่วย และความสูง 1 หน่วย

ลูกบาศก์ A มีปริมาตร 1 ลูกบาศก์หน่วย
ลกบาศก์ B มีปริมาตร 1 ลูกบาศก์หน่วย

พื้นที่ผิวและปริมาตรรูปทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก 

 ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก คือ รูปทรงสามมิติที่ทุกด้านเป็นรูปเหลี่ยมมุมฉาก และด้านตรงข้ามเท่ากันทุกประการและขนานกัน

 สูตร พื้นที่ผิวของทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก = ผลรวมของด้านทั้ง 6 ด้าน
ปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก = ความกว้าง x ความยาว x ความสูง
หรือ ปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก = พื้นที่ฐาน x สูง

พื้นที่รูปสามเหลี่ยม เมื่อกำหนดด้านให้ 3 ด้าน 

พื้นที่รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า

1. ปริซึม 
ปริซึม คือ ทรงสามมิติที่มีฐานทั้งสองเป็นรูปสี่เหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ ฐานทั้งคู่อยู่ในระนาบที่ขนานกัน และด้านข้างแต่ละด้านเป็น

 รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

สูตร พื้นที่ผิวของปริซึม = พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่ผิวหน้าตัด
ปริมาตรปริซึม = พื้นที่ฐาน x สูง

 พื้นที่ผิวของปริซึม เมื่อคลี่ผิวข้างของปริซึมใด ๆ พบว่า จะเกิดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความยาวเท่ากับเส้นรอบฐานและส่วน

กว้างเท่ากับความสูง ดังรูป

สูตร พื้นที่ผิวข้าง = เส้นรอบฐาน x สูง

ตัวอย่าง

ตัวอย่าง 2

2.พีระมิด

 พีระมิด คือ ทรงสามมิติที่มีฐานเป็นรูปเหลี่ยมใด ๆ มียอดแหลม ซึ่งไม่อยู่ในระนาบเดียวกับฐานและหน้าทุกหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยม
ที่มีจุดยอดร่วมกันที่ยอดแหลม

ลักษณะของพีระมิดตรง 
1. หน้าของพีระมิดตรงเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว และเท่ากันทุกรูป
2. สันของพีระมิดตรงจะยาวเท่ากันทุกเส้น
3. ความสูงเอียงของพีระมิดตรงด้านเท่า มุมเท่า จะยาวเท่ากันทุกเส้น
4. ปริมาตรของพีระมิด เป็นหนึ่งในสามของปริมาตร ปริซึมที่มีฐานเท่ากันกับพีระมิดและมีส่วนสูงเท่ากับพีระมิด

 การหาส่วนต่าง ๆ ของพีระมิด 

1. โจทย์ พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมผืนผ้า กว้าง 10 เซนติเมตร ยาว 18 เซนติเมตร และความสูงของพีระมิดเป็น 12 เซนติเมตร จงหาความสูงเอียงทั้ง 2 ด้าน พีระมิดเป็น 12 เซนติเมตร จงหาความสูงเอียงทั้ง 2 ด้าน

(1) ความสูงเอียงด้านกว้าง

(2) ความสูงเอียงขนานด้านยาว

2. โจทย์ พีระมิดสี่เหลี่ยมผืนผ้า

กว้าง 6 เซนติเมตร ยาว 8 เซนติเมตร มีสันยาว 13 เซนติเมตร จงหาส่วนสูง

ตัวอย่าง พีระมิดแห่งหนึ่งมีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ยาวด้านละ 6 เมตร สูงเอียง 5 เมตร และสูงตรง 4 เมตร จงหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของพีระมิด

3. กรวย

ในทางคณิตศาสตร์ให้ความหมายคำว่า กรวย ดังนี้
รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานเป็นรูปวงกลม มียอดแหลมที่ไม่อยู่ในระนาบเดียวกันกับฐาน และเส้นที่ต่อระหว่างจุดยอดกับจุดใดๆ บนขอบของฐานเป็นส่วนของเส้นตรง เรียกรูปเรขาคณิตสามมิตนั้นว่า กรวย

สูตรคำนวณต่างๆที่เกี่ยวข้องกับกรวย
ปริมาตรของกรวย = 1/3 X (22/7 หรือ 3.14) X รัศมียกกำลังสอง X สูงตรง
พื้นที่ผิวของกรวย = (22/7 หรือ 3.14) X รัศมี X สูงเอียง + (22/7 หรือ 3.14) X รัศมียกกำลังสอง

กรวย (cone) คือ ทรงสามมิติใด ๆ ที่มีฐานเป็นวงกลม มียอดแหลมที่ไม่อยู่บนระแนบเดียวกันกับฐาน และเส้นที่ต่อระหว่างจุดยอดและจุดใด ๆ บนขอบของฐานเป็นส่วนของเส้นตรง

4.ทรงกระบอก

ทรงกระบอก (Cylinder) คือ ทรงสามมิติใด ๆ ที่มีฐานเป็นรูปวงกลมที่เท่ากันทุกประการกับหน้าตัด และอยู่ในระนาบที่ขนานกัน เมื่อตัดทรงสามมิตินี้ด้วยระนาบที่ขนานกับฐานแล้ว จะได้รอยตัดเป็นวงกลมที่เท่ากันทุกประการกับฐานเสมอ

——————————————————————————————————————————————————————

อ้างอิง : http://www.thaigoodview.com/library/contest2553/type1/math03